حجم العينة: معادلات ستيفن ثامبسون وكريجسي ومورجان وبرنامج G*Power

أعدّه فريق Mastermind PhD · آخر تحديث: 3 نوفمبر 2026 · سياسة التحرير

كم استبانة تحتاج فعلًا؟ 100 كما نصحك زميل، أم 384 كما قرأت في رسالة، أم أن الرقم يعتمد على اختبارك الإحصائي؟ الإجابة الدقيقة: حجم العينة يعتمد على سؤالَين مختلفَين. إذا كان هدفك تقدير خصائص مجتمع معلوم الحجم (مستوى الرضا لدى 4,200 معلم) فالمرجع جداول ومعادلات المعاينة مثل كريجسي ومورجان وثامبسون. وإذا كان هدفك اكتشاف فرق أو علاقة بحجم أثر معين بقوة إحصائية كافية فالمرجع تحليل القوة ببرنامج G*Power. هذا المقال يشرح الطريقتَين بأمثلة محلولة، ثم متطلبات النمذجة البنائية، وكيف تكتب التبرير في فصل المنهجية بما يُقنع اللجنة.

هذا المقال جزء من دليل كتابة رسالة الماجستير الذي يُعدّه فريق Mastermind PhD، ويرتبط بخدمة التحليل الإحصائي. آخر تحقق من المصادر: نوفمبر 2026.

الطريقة الأولى: جدول كريجسي ومورجان

نشر Krejcie وMorgan عام 1970 جدولًا يعطي حجم العينة لمجتمع معلوم عند ثقة 95% وهامش خطأ 5% ونسبة 0.50 (الأكثر تحفظًا). أشهر قيمه:

ملاحظتان: الجدول يُشتق من معادلة مربع كاي عند درجة حرية واحدة، وقيمه تستقر عند 384 تقريبًا لأي مجتمع كبير؛ لذلك لا تعني عينة 384 أنك «غطيت» مجتمعًا من مليون شخص بأكثر مما تغطي مجتمعًا من 100 ألف. والجدول لا يراعي عدد المجموعات التي ستقارنها، فعينة 357 من 5,000 موظف قد تضم 11 فردًا فقط من فئة «أكثر من 20 سنة خبرة»، وهو ما يُفسد اختبارات الفروق. استخدم الجدول للتقدير الوصفي ثم تحقق من حجم كل مجموعة.

الطريقة الثانية: معادلة ستيفن ثامبسون بمثال محلول

المعادلة الشائعة في الرسائل العربية، وتُنسب إلى كتاب Thompson في المعاينة:

n = N × p(1 − p) ÷ [ (N − 1) × (d² ÷ z²) + p(1 − p) ]

حيث N حجم المجتمع، وz القيمة المعيارية عند مستوى الثقة (1.96 لثقة 95%)، وd هامش الخطأ (0.05)، وp نسبة توافر الخاصية وتُؤخذ 0.50 لتعظيم العينة.

مثال: مجتمع من 4,200 معلم. p(1 − p) = 0.25. وd² ÷ z² = 0.0025 ÷ 3.8416 = 0.000651. المقام = (4,199 × 0.000651) + 0.25 = 2.733 + 0.25 = 2.983. البسط = 4,200 × 0.25 = 1,050. إذن n = 1,050 ÷ 2.983 = 352 معلمًا. لاحظ أن جدول كريجسي ومورجان يعطي 351 للمجتمع نفسه تقريبًا، فالطريقتان متقاربتان لأن أساسهما الإحصائي واحد.

البديلان الشائعان: معادلة Cochran للمجتمع غير المحدود n0 = z² p(1 − p) ÷ d² = 384، ثم التصحيح للمجتمع المحدود n = n0 ÷ [1 + (n0 − 1) ÷ N]؛ ومعادلة Yamane n = N ÷ (1 + N × e²) التي تعطي 365 للمجتمع نفسه عند e = 0.05. أي معادلة مقبولة بشرط كتابتها بمتغيراتها وقيمها ومرجعها.

📱 اسأل مختصًا إحصائيًا عن بياناتك — أرسل وصف أداة الدراسة وحجم العينة على واتساب، ونرد عليك بخطة التحليل المناسبة. مع كل تحليل تستلم ملف SPSS الخام وتقرير النتائج.

الطريقة الثالثة: تحليل القوة الإحصائية ببرنامج G*Power

هنا السؤال مختلف: ما أصغر عينة تكشف أثرًا بحجم معين إن كان موجودًا؟ برنامج G*Power مجاني من جامعة دوسلدورف، ويحتاج أربعة مدخلات: نوع الاختبار، وحجم الأثر المتوقع (من الدراسات السابقة أو عتبات Cohen للأثر المتوسط)، ومستوى الدلالة (0.05)، والقوة المطلوبة (0.80). اختر Type of power analysis = A priori ثم Calculate.

هذه الأرقام أقل كثيرًا من 384، وهنا يظهر منطق الجمع بين الطريقتَين: عينة 352 من المعلمين تُرضي شرط التمثيل الوصفي، وتتجاوز متطلبات القوة لكل اختبار مخطط، فتذكر الأمرَين معًا في المنهجية. أما إذا كان الأثر المتوقع صغيرًا (d = 0.20) فستحتاج 394 في كل مجموعة، وهو ما يجب معرفته قبل الجمع لا بعده.

متطلبات خاصة: الانحدار والنمذجة البنائية

• الانحدار المتعدد: قاعدة Green (1991): N ≥ 50 + 8k لاختبار النموذج وN ≥ 104 + k لاختبار المتنبئات الفردية، حيث k عدد المتغيرات المستقلة. القاعدة الأبسط: 10 إلى 15 حالة لكل متنبئ.
• التحليل العاملي الاستكشافي: 5 إلى 10 حالات لكل فقرة، وبحد أدنى 100 إلى 200 حالة؛ 300 حالة تُعد جيدة لمعظم المقاييس.
• النمذجة البنائية في AMOS: 200 حالة فأكثر هي العتبة الشائعة، أو 10 حالات لكل معلمة حرة في النموذج (Kline, 2016)، مع عينات أكبر للنماذج المعقدة أو التوزيعات المنحرفة.
• SmartPLS: قاعدة العشرة أمثال (عشرة أمثال أكبر عدد أسهم تتجه إلى بُنية واحدة) تُنتقد بوصفها متساهلة؛ البديل الموصى به قاعدة الجذر التربيعي العكسي أو تحليل القوة للمسار الأصغر أثرًا (Hair et al., 2022).

من حجم العينة إلى عدد الاستبانات الموزعة

الرقم المحسوب هو الاستبانات الصالحة، لا الموزعة. خطط لمعدل استجابة واقعي (60% إلى 75% للتوزيع الميداني المباشر، و20% إلى 40% للروابط الإلكترونية) ولفاقد التنظيف (5% إلى 15% استبانات غير مكتملة أو ذات نمط إجابة واحد). لعينة 352 صالحة بمعدل استجابة 70% وفاقد 10% تحتاج توزيع نحو 560 استبانة. وفي العينة الطبقية وزّع العدد على الطبقات بنسبة حجمها في المجتمع، واذكر الجدول في المنهجية.

كيف تكتب تبرير حجم العينة في فصل المنهجية؟

قالب مقترح: «تكوّن مجتمع الدراسة من (4,200) معلم ومعلمة وفق إحصاءات إدارة التعليم للعام (…). وحُدد حجم العينة بمعادلة ثامبسون عند مستوى ثقة 95% وهامش خطأ 5%، فبلغ (352) معلمًا، وهو ما يتفق مع جدول كريجسي ومورجان (351). كما تم التحقق بتحليل القوة الإحصائية ببرنامج G*Power 3.1 من كفاية هذا الحجم لاكتشاف أثر متوسط (d = 0.50) في اختبار t للعينات المستقلة بقوة 0.80 ومستوى دلالة 0.05 (المطلوب 128). وُزعت (560) استبانة بطريقة العينة الطبقية النسبية وفق النوع والمرحلة، وعاد منها (398)، استُبعد (23) لعدم الاكتمال، فبلغت العينة النهائية (375) بمعدل استجابة (71%)». هذه الفقرة تجيب مسبقًا عن كل أسئلة اللجنة حول العينة.

أخطاء شائعة في تحديد حجم العينة

• اعتماد رقم 384 أو 100 دون حساب أو مرجع.
• كتابة المعادلة بلا قيم مُعوَّضة، أو نسخ نتيجة لا تطابق حجم المجتمع المذكور.
• حساب العينة للمجتمع كله ثم مقارنة مجموعات أحدها 9 أفراد.
• الخلط بين الاستبانات الموزعة والصالحة في حساب معدل الاستجابة.
• تطبيق جدول كريجسي ومورجان على دراسة تجريبية صغيرة بدل تحليل القوة.
• ذكر مجتمع «غير محدود» لمجتمع معلوم الحجم من السجلات الرسمية.

📱 استفسر الآن على واتساب — 5 سنوات خبرة في كل التخصصات و14 خدمة أكاديمية. الدفع على مرحلتين (80/20)، والتعديلات مجانية حتى اعتماد المشرف في حدود 30% من الفصل.

الأسئلة الشائعة

هل يمكن إجراء رسالة ماجستير بعينة أقل من 100؟

نعم إذا كان مجتمع الدراسة صغيرًا (الحصر الشامل لمجتمع من 70 موظفًا)، أو كانت الدراسة تجريبية بمجموعتَين حسب تحليل القوة (نحو 30 إلى 64 في كل مجموعة للأثر المتوسط إلى الكبير). المهم أن يُحسب الحجم ويُبرر، لا أن يتجاوز رقمًا سحريًا.

ما الفرق بين حجم العينة وعدد المستجيبين؟

حجم العينة الرقم المستهدف من الحساب، وعدد المستجيبين من استجابوا فعلًا، والعينة النهائية الصالحة ما بقي بعد التنظيف. اذكر الثلاثة ونسبة الاستجابة.

هل تختلف معادلة ثامبسون عن معادلة كوكران؟

الأساس الإحصائي واحد، وتعطيان نتائج متقاربة جدًا للمجتمع المحدود؛ ثامبسون تُطبَّق مباشرة على المجتمع المحدود، وكوكران تُحسب للمجتمع غير المحدود ثم تُصحَّح. المعادلة الأشيع في الرسائل العربية هي ثامبسون، وفي الأدبيات الإنجليزية كوكران.

كيف أحدد حجم الأثر المتوقع في G*Power إذا لم توجد دراسات سابقة؟

استخدم عتبة الأثر المتوسط وفق Cohen (d = 0.50، r = 0.30، f = 0.25، f² = 0.15) وبرر ذلك بوصفه الافتراض المتحفظ المعتاد، أو أجرِ دراسة استطلاعية صغيرة لتقدير الأثر.

هل تحتاج الدراسات النوعية إلى حساب حجم العينة؟

لا تُطبَّق عليها المعادلات؛ يُحدد عدد المشاركين بمبدأ التشبع (توقف ظهور أفكار جديدة)، ويُذكر العدد المبدئي المتوقع (12 إلى 20 مقابلة شائعة) مع تبرير الوصول إلى التشبع في فصل المنهجية.

المصادر

• Krejcie, R. V., & Morgan, D. W. (1970). Determining sample size for research activities. Educational and Psychological Measurement, 30(3), 607–610. https://doi.org/10.1177/001316447003000308
• Thompson, S. K. (2012). Sampling (3rd ed.). Wiley.
• Cochran, W. G. (1977). Sampling Techniques (3rd ed.). Wiley.
• Faul, F., Erdfelder, E., Lang, A.-G., & Buchner, A. (2007). GPower 3: A flexible statistical power analysis program for the social, behavioral, and biomedical sciences. Behavior Research Methods, 39*(2), 175–191. https://doi.org/10.3758/BF03193146
• Green, S. B. (1991). How many subjects does it take to do a regression analysis? Multivariate Behavioral Research, 26(3), 499–510.
• Kline, R. B. (2016). Principles and Practice of Structural Equation Modeling (4th ed.). Guilford.
• Hair, J. F., Hult, G. T. M., Ringle, C. M., & Sarstedt, M. (2022). A Primer on Partial Least Squares Structural Equation Modeling (PLS-SEM) (3rd ed.). SAGE.
• Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf. GPower: Statistical Power Analyses*. https://www.psychologie.hhu.de/arbeitsgruppen/allgemeine-psychologie-und-arbeitspsychologie/gpower

آخر تحقق من المصادر: نوفمبر 2026. المقال تعليمي عام ولا يغني عن لائحة جامعتك أو توجيهات مشرفك. كيف نُعد محتوانا.